尝试用纯语言描述麦克斯维方程【转载】

mengzhuhao · 发表于 2007-11-12 18:37

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1.第一步，散度定理和旋度定理
      散度定理：一个矢量通过包围它的闭合面的总通量（矢量的面积分）等于该矢量的散度（和算子点乘）在该闭合面构成的体积内的体积分。散度定理搭建了面积分与体积分之间的转换桥梁。散度定理可用一个球图示。       旋度定理（斯托克斯定理）：一个矢量的闭合线积分等于矢量的旋度（和算子叉乘）在该闭合线围成的开放面上的面积分。旋度定理搭建了线积分与面积分之间的转换桥梁。旋度定理可用一个环图示。
      散度定理和旋度定理是将麦克斯韦方程从积分形式向差分形式转化的基础，而麦克方程的差分形式方才便于求解。
      2.第二步，法拉第定律
      法拉第发现磁能生电，是他带给我们光明。法拉定定律描述的即是变化的磁场产生电场。
      等式的左边是电场强度矢量E（电场对应电压，E的单位是V/m），等式右边是磁通量密度矢量B（单位Wb/m^2）。左边是E的闭合线积分，右边是B在该闭合线围成的开放面上的面积分再对时间t求一次导数。
      法拉第定理可以视为磁生电右手定则的量化描述，对于等式右边的符号，先忽略它，然后根据右手定则的“阻碍”原则确定是正还是负。
      法拉第定律：变化的磁场产生变化的电场，感应电力线自身必须闭合。
3.第三步：安培定律
1)法拉第定律给出：变化的磁场可以生成电场；安培定律给出对应面：变化的电场可以生成磁场。
安培定律经过了麦克斯韦的修正，原安培定律对时变电磁场存在可推导的相互矛盾，对此，麦克斯韦提出了位移电流的概念，对安培定律进行了修正，这是麦克斯韦最重大的贡献之一，它导致统一电磁场理论的发展，麦克由此预言电磁场可在空间以波的形式传播。所有现代的通信手段，都是基于安培定律的这项修正。
2）安培定律描述如下：磁场强度矢量H的闭合线积分等于总电流密度在该闭合线围成的开放平面上的面积分。等式左边H的单位是A/m，右边总电流密度的单位是A/m^2。
总电流密度等于传导电流密度加上位移电流密度。位移电流密度等于电通量密度矢量D对时间求导，电通量密度矢量D的单位是C/m^2。
3)位移电流是磁场的源头，时变电场产生时变磁场。
4.第四步：高斯定律
      高斯定律有两个，分别是对电通密度矢量和磁通密度矢量而言，也即分别描述电场和磁场。高斯定律描述的是流出闭合面的电通/磁通总量与电场源/磁场源之间的对应关系。
      1)对电场来说（闭合面内有电场源，对应流出闭合面的是电通总量），高斯定律描述如下：电通密度矢量D在S上的闭合面积分，等于电荷体密度在该闭合面围成的体积内的体积分。D单位C/m^2，电荷体密度单位C/m^3。电场高斯定律的物理意义是：流出闭合面的总电通量等于闭合面内包围的总正电荷。
也就是说，电场源是独立的，电场是一去不返的，从正电荷出发，到负电荷终止。
      2)对磁场来说（对应流出闭合面的是磁通总量），高斯定律描述如下：磁通密度矢量B在S上的闭合面积分，等于0。B单位Wb/m^2。磁场高斯定律的物理意义是：流出闭合面的总磁通量为0。也就是说，自然界不存在独立的磁场源，磁场是有来有去的，磁力线通过任意闭合面后必然会从相反方向再次通过。
      磁力线是闭合的！
5.第五步：电荷守恒定理
      高斯定律中关于电场的那个描述的是静电场（净电荷），正电荷静止不动；电荷守恒定理描述的是运动电荷，有电流形成。
电荷守恒定理描述如下：电流密度矢量J（单位A/m^2）在S上的闭合面积分，等于该闭合面围成的体积v内的体电荷密度在v上的体积分，然后对时间求一次导数后取负。
电荷守恒定理的意义是：从闭合面流出的电流量等于闭合面内减少的电荷量。
6.第六步：麦克方程积分形式到微分形式的转化。
      麦克方程积分形式易于理解物理意义，但求解困难，特别是不利于使用数值算法求解，通过散度定理（奥-高定理）和旋度定理（斯托克斯定理），麦克方程可以很容易地从积分形式转化为微分形式。
7.第七步：以上五个等式的关系
      法拉第定律、安培定律、电荷守恒定理完整描述了电磁场的特性，高斯定律的两个等式可以通过上述三个方程推导得出。
      在法拉第定律、安培定律中引入电荷守恒定理后，仍然还有四个未知量（仅有两个方程），为了求解E/H，需要再加入本征方程。
8.第八步：本征方程
      1)电磁场存在于物理媒介中，在均匀、线性和各向同性的物理媒介中，电通密度矢量D、磁通密度矢量B、电流密度矢量J与电场强度矢量E、磁场强度矢量H之间存在着简单的线性关系，被称之为本征方程。
      具体说来，电通密度矢量D等于电容率（介电常数，单位F/m）乘以电场强度矢量E；
      磁通密度矢量B等于磁导率（单位H/m）乘以磁场强度矢量H；
      电流密度矢量J等于电导率（单位西门子/m）乘以电场强度矢量E。
      2)电流密度矢量与电场强度矢量之间的等式关系实际上是欧姆定律的一种形式。
      电容率单位F/m，可以认为是单位长度的电容；
      磁导率单位H/m，可以认为是单位长度的电感；
      电导率单位S/m，可以认为是单位长度的电导。
      对真空或自由空间来说，电容率（介电常数）和磁导率是固定值，两者乘积的平方根的导数，就是真空中的光速。

      麦克方程用数学表达写出来仅短短8个公式，简捷美妙，用语言描述则长篇累牍，可见数学的魅力。